最近有空看了看Plookup的論文。針對對電路描述不友好的操作（比如bit操作），Plookup給出了新的思路和證明方式。給定某個操作的真值表示（lookup table），證明某個操作的輸入/輸出是在真值表中。這種方式，相對之前的bit計算約束方式，降低約束的個數，提高了電路效率。
Plookup的論文下載地址如下：
基本思想
Plookup嘗試解決的問題是，給定兩個集合，證明某個集合的元素在另外一個集合中。給定兩個集合t和f，s是f排序后的結果。如果t中的元素最少在f中出現過一次。判別f中的元素是否包括在t中，只需要比較元素差的集合：
舉個例子，t是{1，4，8}的集合，元素的差異集合為{3, 4}，分別是4-1，8-4。如果s只有t中的元素組成，并且每個元素最少出現一次，例如{1，1，4，8，8，8}，元素的差異集合也為{3，4}。如果s中的元素并不完全是t中的元素，那即使在元素差異集合一樣的情況下，也不能說明s中元素在t的集合中。例如s為{1，5，5，5，8，8}，元素的差異集合也為{3，4}，分別是8-5，5-1。
論文提出，可以引入一個隨機因子，將前后兩個元素相加的方法，確定兩個集合的依賴關系。

定義多項式
在基本思想的基礎上，論文在第三章定義了兩個多項式F和G：
如果F和G相互對等，有且如下的條件成立：
f集合屬于t
s是(f，t)的并集，并且按照t中的元素排序
如果條件成立，可以推導出兩個多項式相等。F多項式可以看成是兩部分組成，分別是兩個連乘。后面的連乘可以看成是t中的元素連乘。前面的連乘，可以看成是f中元素的連乘。因為f中的元素屬于t，則f中的元素的連乘，可以想象成多個相同元素的連乘。反之，因為beta和gamma的隨機因子，也能從F和G對等條件推出滿足的兩個條件。具體的證明過程，可以查看論文的第三章。
在定義多項式的基礎上，問題可以轉化成兩個多項式相等。
Plookup協(xié)議
已知f和t，可以排序得到s。因為s由f和t合并而成，s可以由兩個函數h1和h2表示。關鍵在于第4步，定義了Z函數：
Z(g) = 1 - 初始為1
Z(x) 是兩種多項式表示的商
Z(g^(n+1)) = 1 - n+1元素的連乘，兩種多項式表達式相等
驗證者，除了查看Z函數外，額外還要查看h1/h2連續(xù)性。
論文進一步將協(xié)議推廣到更通用的情況，并給出了t中元素是連續(xù)情況下的優(yōu)化協(xié)議。感興趣的小伙伴可以自行查看。
總結
Plookup提出了一種明確輸入/輸出的情況下，如何證明某個函數的運算正確的協(xié)議。輸入輸出定義成lookup表，計算的輸入/結果只要在該lookup表中即表示運算正確。和Plonk采用同樣的思路，Plookup定義了問題的多項式表示，證明了Z函數的遞歸表示和邊界。

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